Нужно ли доверенность от родителей

Да, в вашей ситуации нотариально заверенное согласие (доверенность) от родителей обязательно требуется.

Вот подробное разъяснение ситуации на основе актуальных правил.

Почему нужна доверенность?
Согласно законодательству РФ (Федеральный закон № 114-ФЗ), если несовершеннолетний гражданин выезжает из страны без сопровождения своих родителей (или опекунов), он должен иметь при себе нотариально оформленное согласие на выезд.

В вашем случае:

Родители остаются дома.
Ребенка сопровождает бабушка.
Следовательно, это выезд без сопровождения родителей, что требует документального подтверждения их согласия.
Важные детали и правила (на 2026 год)
От кого нужно согласие?

Достаточно согласия от одного из родителей, если второй родитель не подавал официальный запрет на выезд ребенка через органы МВД. На всякий случай, лучше уточнить этот момент у второго родителя.
Если вы хотите избежать любых вопросов на границе, можно оформить согласие от обоих родителей.
Что должно быть в согласии? В документе должны быть четко указаны:

Данные родителя, дающего согласие (ФИО, паспортные данные).
Данные ребенка (ФИО, дата рождения, данные паспорта).
Данные сопровождающего лица (ФИО бабушки, паспортные данные).
Страна назначения (Республика Беларусь).
Срок поездки (конкретные даты).
Нужен ли загранпаспорт ребенку?

Нет. Ваш сын уже имеет паспорт (в 15 лет это, скорее всего, внутренний паспорт гражданина РФ). Для поездки в Беларусь детям от 14 лет достаточно внутреннего паспорта. Загранпаспорт нужен только детям до 14 лет.
Что будет, если поехать без доверенности?
При пересечении границы пограничная служба не выпустит ребенка из России. Вам придется вернуться домой за оформлением документов. Это может сорвать поездку и доставить массу неудобств.

Итог
Чтобы поездка состоялась и прошла гладко, вам необходимо:

Обратиться к нотариусу для оформления согласия на выезд ребенка в Беларусь с бабушкой на конкретные даты.
Бабушке взять с собой оригинал этого документа и свой паспорт.
Это простая процедура, которая убережет вас от проблем на границе.