Добрый день!
Да, выписаться из квартиры в Северодонецке, находясь в Туле, можно, и для этого не нужно лично возвращаться в ЛНР. Вы можете оформить постоянную регистрацию в Туле, что автоматически снимет вас с учета в Северодонецке.
По законодательству РФ, при смене места жительства процедура снятия с учета по старому адресу и постановки на учет по новому происходит одновременно. В вашем случае это правило работает с учетом особенностей, установленных для новых регионов.
Обратитесь в многофункциональный центр «Мои документы» (МФЦ) или в территориальный орган МВД по вопросам миграции в Туле.