Могу ли я оформить его на себя

Зависит от того, кто сейчас указан собственником в ПСМ и есть ли непрерывная цепочка документов до продавца. Само по себе руководство по эксплуатации ничего не подтверждает, а ПСМ с отметками мотосалонов 2014 года ещё не гарантирует, что нынешний продавец вправе продать квадроцикл и что Гостехнадзор поставит его на вас.

Квадроцикл с ПСМ оформляется не в ГИБДД, а через Гостехнадзор. Для регистрации нужны как минимум ПСМ или ЭПСМ и документ, подтверждающий право собственности: договор купли-продажи, акт приёма-передачи, справка-счёт и т.п.; действующий порядок также предусматривает регистрацию техники при наличии действительного паспорта техники.  После покупки зарегистрировать технику нужно в течение 10 календарных дней.

Что делать до передачи денег:

Попросите у продавца фото всех страниц ПСМ, а не только первой страницы: важно увидеть, кто последний собственник и заполнены ли графы перехода права.
Сверьте номера рамы/VIN, двигателя, модель и год выпуска на квадроцикле с ПСМ.
Проверьте, указан ли сам продавец в ПСМ или у него есть договоры, подтверждающие всю цепочку: мотосалон → первый покупатель → следующий владелец → нынешний продавец.
Если продавец не вписан в ПСМ и у него нет договоров по цепочке, деньги лучше не передавать: риск отказа в регистрации и спора о праве собственности высокий.
При покупке оформляйте договор купли-продажи и акт приёма-передачи, а в ПСМ должны быть внесены сведения о новом собственнике и подпись прежнего собственника.
Обратите внимание: две отметки мотосалонов с разницей в два дня сами по себе не обязательно означают проблему — это может быть движение техники между дилерами. Проблема будет, если после этих салонов нет понятного перехода права к нынешнему продавцу.

Нынешний продавец вписан в ПСМ как собственник или у него есть только сам ПСМ без договоров покупки?