Здравствуйте, сняться с регистрации можно, но лучше делать это только при фактическом выезде и регистрации по новому месту жительства/службы. Основание указывать нейтрально: «в связи с выбытием к новому месту жительства». Сама по себе выписка не гарантирует признание нуждающимися, потому что по ст. 15 ФЗ «О статусе военнослужащих» применяются ст. 51, 53 ЖК РФ: будут учитывать прежнее дарение доли, право пользования квартирой и фактическую обеспеченность жильем.
Если с момента дарения доли прошло 5 лет, риск отказа именно по ст. 53 ЖК РФ ниже, но жилищный орган всё равно может проверять регистрацию и фактическое проживание. Поэтому к заявлению лучше готовить доказательства, что семья реально проживает в другом месте и квартирой матери как своим жильем не пользуется.
Если вам необходимо разобрать ваш вопрос детально или подготовить заявление о снятии с регистрации и позицию для жилищной комиссии, то напишите мне в личный чат.