Здравствуйте!
Отдать квартиру государству в простом смысле этого слова нельзя. Такого механизма в российском законодательстве не существует.
После совершеннолетия детей можно продать квартиру. Сейчас продажа невозможна без согласия органов опеки, поскольку в квартире есть доли несовершеннолетних (ст. 37 ГК РФ). После того как детям исполнится 18 лет квартиру можно свободно продать и закрыть долг по коммуналке из вырученных средств.
Второй выход это расприватизация, то есть передача квартиры государству (ст. 9.1 Закона РФ № 1541-1 «О приватизации жилищного фонда»). Теоретически это возможно, но только при отсутствии долгов и обременений. Наличие долга по коммуналке делает эту процедуру практически невозможной до его погашения.
Долг по коммуналке никуда не денется при любом сценарии, его придётся погасить. Чем дольше квартира стоит без оплаты, тем больше растут пени (ст. 155 ЖК РФ).
Успехов!