5 или можно только переоформить на него договор социального найма жилья?

1. Отвечая на первый Ваш вопрос можно сказать, что достоверно узнать о приватизации можно лишь обратившись к Единому государственному реестру недвижимости, поскольку именно там регистрируются права на недвижимое имущество.

2. Приватизировать жилое помещении можно только с согласия всех лиц, прописанных в нем или включенных  в договор социального найма (ст. 2 Закон РФ «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации» от 04.07.1991 N 1541-1)

Граждане Российской Федерации, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, в общую собственность либо в собственность одного лица, в том числе несовершеннолетнего, с согласия всех имеющих право на приватизацию данных жилых помещений совершеннолетних лиц и несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.

Но бывают случаи, когда в нарушение закона приватизируют жилье без согласия проживающих. Поэтому, чтобы точно узнать см. пункт 1.

3. Если квартира неприватизирована, то в состав наследства она не входит, Ваш сын сможет только переоформить на себя договор социального найма (ч. 2 ст. 82 ЖК РФ)

2. Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя.
 
В таком случае вступать в наследство не обязательно, нужно обращаться в администрацию (или в ДГИ если квартира в Москве) с документами на переоформление договора социального найма.

К слову, есть ряд сервисов, например контур панорама

https://panorama.kontur.ru/

в них можно заказать отчет о правах на недвижимость по кадастровому номеру или адресу помещения.

Там не будет персональных данных. 

Но, если там будет зарегистрировано право собственности на квартиру (при этом правообладатель будет скрыт) — то это означает, что квартира уже в частной собственности, т.е. была приватизирован.

Если же в ЕГРН вообще нет сведений о ней либо в графе правообладатель будет указано «г. Москва», то значит квартира НЕприватизирована.

Хотя, если квартира была приватизирована до введения системы ЕГРН, то возможно право на нее зарегистрировано только в БТИ. Оттуда информацию можно будет получить только по нотариальному запросу.

3) Если всё таки квартира неприватизированная, является ли сын уже наследником и полноправным хозяином квартиры? 

Если сын зарегистрирован в квартире, которая не была приватизирована, то он может оформить договор социального найма на своё имя, если других зарегистрированных в квартире лиц нет, а затем может приватизировать квартиру и в дальнейшем распорядиться ею по своему усмотрению.

4) или нужно вступать в наследство через нотариуса?

Если квартира не приватизирована, то она не войдёт в состав наследства, и оформление прав на неё у нотариуса будет невозможным. Принять наследство можно только при условии, что имущество находилось в собственности наследодателя.

 Так, согласно ст. 1112 Гражданского Кодекса РФ:

В состав наследства входятпринадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.

Жилищные права — это неимущественные права, которые по наследству не передаются. 

Дополню свой ответ:

ст. 2 Закона РФ «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации» от 04.07.1991 N 1541-1:

  — Граждане РФ, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом -  в общую собственность либо в собственность одного лица, в том числе несовершеннолетнего, с согласия всех имеющих право на приватизацию данных жилых помещений совершеннолетних лиц и несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.

На основании указанной статьи, мама Вашего мужа не могла приватизировать квартиру на свое имя без нотариального оформленного отказа — сына (Вашего супруга).

На практике, Администрация муниципалитета тщательно проверяет документы перечень около 20 ед.

Сейчас БТИ уже реорганизованы. В 2026 году функции технического учета и инвентаризации выполняют региональные  филиалы «Роскадастра» (после объединения с «Ростехинвентаризацией»).

2) Может ли она вообще приватизировать ее без участия сына?

 Нет, такого быть не могло. От проживающего лица (сына), в таком случае, обязательно потребовали бы, нотариально удостоверенный, отказ от участия в приватизации квартиры.