И в архиве должно оно быть (так мне сказали работники ЗАГСа)Каким образом я могу и где восстановить свое свидетельство о рождении?

Добрый день. Можете обратиться в суд с заявлением об установлении факта, имеющего юридическое значение. — это документ, с которым заявитель обращается в суд, чтобы установить факт, от которого зависит возникновение, изменение или прекращение личных или имущественных прав граждан или организаций. 
Особенности порядка рассмотрения таких дел регулируются главой 28 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации (ГПК РФ). Суд рассматривает дела об установлении, например, родственных отношений, факта нахождения на иждивении, факта регистрации рождения, усыновления (удочерения), брака, расторжения брака, смерти, факта признания отцовства, факта принятия наследства и места открытия наследства. 

Здравствуйте. Отказ архива — это не финал. Поскольку первичная запись акта не найдена, вам действительно необходимо действовать через суд, и это стандартная процедура для ДНР.

Вам нужно получить в отделе ЗАГС Департамента госрегистрации Минюста ДНР официальное извещение об отсутствии записи акта о рождении. Этот документ станет основанием для обращения в суд.

Далее подаете в суд по месту жительства заявление об установлении факта государственной регистрации рождения. Это рассматривается в порядке особого производства. В заявлении указываете все известные данные о родителях, дате и месте рождения, а также обстоятельства утраты документа.

После вступления решения суда в законную силу, обратитесь с ним в территориальный отдел ЗАГС. Там восстановят запись акта и выдадут свидетельство о рождении с отметкой о восстановлении.

Имейте в виду, что до получения паспорта РФ может потребоваться подтверждение гражданства, но восстановленное свидетельство решит проблему с заменой паспорта в МВД.