Добрый день! Нет, выписывать сына и регистрировать его по новому адресу не обязательно, и никакой ответственности за то, что он зарегистрирован не по месту фактического проживания, вы не несете. Согласно ст. 20 ГК РФ и Постановлению Правительства РФ № 713, местом жительства несовершеннолетнего признается место жительства его родителей, и отсутствие регистрации по фактическому адресу не влечет административной ответственности ни для вас, ни для родителей, у которых он прописан. Однако для получения медицинской помощи, устройства в детский сад или школу, оформления пособий и иных социальных услуг вам потребуется временная регистрация сына по месту вашего съемного жилья (с согласия собственника), которую вы можете оформить в МФЦ без снятия с постоянного учета у родителей. Временная регистрация несовершеннолетнего по месту пребывания обязательна, если он проживает вне места постоянной регистрации более 90 дней, но штраф за ее отсутствие на практике применяется крайне редко и только в случае выявления факта проживания без регистрации сотрудниками полиции.
При необходимости готов вам предоставить весь алгоритм ваших действий или провести дополнительную консультацию. Если мой ответ был вам полезен — можете отблагодарить юриста — pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/4417895/ буду благодарен за положительный отзыв — pravoved.ru/private/feedback