Она имеет право так запрещать?

Безопасность и ответственность: Пока ребенок находится в школе, за его жизнь и здоровье отвечает администрация. Если Максим просто «заходит позаниматься» вне официального расписания (не на уроке и не в группе продленного дня), он юридически находится в «серой зоне». Если он упадет или ударится, директору грозит серьезное наказание.
Антитеррористическая защищенность: Сейчас в школах строгий пропускной режим. Посторонние (даже ученики не в свое учебное время) не должны находиться в здании без регистрации в специальных журналах или приказах.
Платные услуги: Если вы платите учителю «в руки», то для директора это незаконное предпринимательство на территории школы. Директора за это могут уволить. По закону любые допзанятия должны идти через официальный договор со школой.
Что можно сделать в этой ситуации?
Оформить ГПД (продленку): Если проблема только в еде, можно попробовать договориться, чтобы вы забирали его пораньше (сразу после занятия) или приносили еду с собой в контейнере (хотя в школах это часто запрещено СанПиНом).
Заниматься вне школы: Самый простой вариант — договориться с учителем о занятиях у нее или у вас дома.
Официальные допуслуги: Узнать, есть ли в школе платные кружки по этому предмету. Тогда он будет в списках официально.
Важный момент: Директор не имеет права заставлять вас идти именно на продленку, но она имеет право запретить находиться в школе ребенку, у которого закончились уроки и который не зачислен в группу продленного дня.