Да, ребенка пропустят через административную границу (пункты пропуска между ЛНР и Ростовской областью), так как отсутствие штампа о регистрации в паспорте не является основанием для отказа в проезде внутри страны.
Для проезда через границу: Паспорт гражданина РФ является основным документом, удостоверяющим личность. Наличие или отсутствие прописки в нем не ограничивает право гражданина на передвижение по территории России. Пограничный контроль проверяет подлинность документа и принадлежность его владельцу, а не место жительства.
Для лагеря в Анапе: В стандартный перечень документов для детских лагерей Краснодарского края входят копия паспорта (страницы с фото и пропиской), копия полиса ОМС и медицинские справки.Если в паспорте нет штампа, подтверждением места жительства может служить справка о регистрации (форма №8) или выписка из домовой книги.
Поскольку ребенок был прописан в 2012 году, данные о его регистрации должны быть в базе МВД. Вам стоит заранее обратиться в МФЦ или паспортный стол, чтобы поставить штамп в паспорт или получить справку о регистрации, чтобы у администрации лагеря не возникло вопросов при приеме ребенка.