Подскажите, могут ли меня оставить на службе по контракту на 1год после его окончания, проходить службу дальше, если я этого не хочу?

Нет, если вы не хотите продолжать службу, заставить вас подписать новый контракт не могут. Основанием для вашего увольнения будет именно истечение срока действующего контракта.

Вот что нужно знать о ваших правах в этой ситуации:

Увольнение по истечении срока контракта — это ваше право. Согласно законодательству, истечение срока контракта является самостоятельным и достаточным основанием для увольнения с военной службы -6. Если вы не изъявили желания заключать новый контракт, командир обязан издать приказ о вашем увольнении.
Продление возможно только добровольно. Закон не предусматривает принудительного продления контракта. Ситуации, когда военнослужащие продолжают службу после окончания контракта (например, до окончания мероприятий организационно-штатного характера), возможны, но это не отменяет вашего права уволиться по собственному желанию в связи с окончанием срока действия контракта.
Служба после предельного возраста — это другое. Существуют нормы, регламентирующие прохождение службы после достижения предельного возраста (ст. 49 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе») -1-2-5. Там действительно предусмотрена возможность заключения новых контрактов с военнослужащими, достигшими 50, 55, 60 лет и т.д., вплоть до 65 или 70 лет -2-3-5. Но это касается именно заключения новых контрактов, а не автоматического продления старого, и происходит только с согласия военнослужащего.
Что делать: Вам необходимо заранее, до истечения срока действующего контракта, подать рапорт об увольнении в связи с окончанием его срока. Отказ в увольнении при отсутствии вашего согласия на заключение нового контракта является незаконным и может быть обжалован у вышестоящего командира или в военной прокуратуре.