Как лучше поступить в данной ситуации?

Здравствуйте!

Главное — получить квалифицированную медпомощь сейчас. Травма на производстве (в т.ч. для граждан ЕАЭС) гарантирует 100% оплату больничного и бесплатное лечение. Скрытие травмы — риск остаться без денег при осложнениях. Лучше зафиксировать производственную травму официально: это защитит права работника и обеспечит компенсации. 
Езжайте в больницу, где могут оказать помощь (даже если платно). Попросите выписку, где опишут травму (палец).
Не соглашайтесь скрывать травму: Устная договоренность с работодателем не имеет силы. Если палец начнет гноиться или неправильно срастется, работодатель может заявить, что травма была бытовой, и вы не получите страховых выплат.
Требуйте от работодателя оформить акт о несчастном случае на производстве (форма Н-1). Это их обязанность.
Если работодатель отказывается, зафиксируйте травму в травмпункте, указав, что она получена на работе.
Напишите заявление работодателю о расследовании несчастного случая (в произвольной форме, с копией себе).
Права иностранца (ЕАЭС): Граждане ЕАЭС имеют те же права на социальное страхование, что и граждане РФ. Требуйте оформления больничного.
Найдите свидетелей, запишите время и место травмы, сделайте фото/видео рабочего места, если это возможно. 
Работодатель может оплатить первую помощь, но в случае осложнений вы потеряете право на компенсацию вреда здоровью и законную оплату простоя. Процесс «переквалификации» бытовой травмы в производственную позже будет сложным и долгим. 

Если мой ответ был полезным для Вас, то буду признателен на положительную оценку, нажав на + .

Здравствуйте!
В такой ситуации лучше всё-таки зафиксировать, что травма получена на производстве. По закону работодатель обязан оформить несчастный случай на производстве, организовать расследование и оплатить лечение, а также выплаты на время нетрудоспособности. Если согласиться скрыть факт производственной травмы, работник фактически лишается этих гарантий, и в дальнейшем работодатель может отказаться оплачивать лечение или компенсацию. Отсутствие полиса ОМС у иностранного работника из стран ЕАЭС не лишает его права на медицинскую помощь при травме, а расходы в случае производственной травмы должен нести работодатель. Лучше обратиться в больницу и честно сообщить, где была получена травма, чтобы её зафиксировали в медицинских документах, после чего работодатель обязан оформить акт о несчастном случае. Если работодатель отказывается это делать или давит на работника, можно обратиться с жалобой в трудовую инспекцию или прокуратуру.