Сын имеет временную регистрацию в нашей квартире, сможет ли он прописать (пусть даже временно) своего новорожденного ребенка в нашей квартире?

Добрый вечер!

Да, Ваш сын может прописать своего новорожденного ребенка в вашей квартире вполне законно в соответствии с п. 2 ст. 20 ГК РФ:

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов

Также следует обратить внимание и на то, что регистрация несовершеннолетних детей по месту пребывания законных представителей производится независимо от согласия собственников, что прямо указано в абзаце 3 п. 12 Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства...»