Здравствуйте закончились водительские права 3 января, заявление на замену подано через госуслуги 21 декабря, запись только 10 января, можно ли ездить в этом промежутке?

Нет, нельзя с 3 января по 10 января (или до получения нового удостоверения) ездить нельзя.
Нарушение приведёт к штрафу и возможному административному наказанию.
Возможные законные варианты
Не садиться за руль до получения новых прав.
Если необходимо водить машину в этом промежутке, есть только альтернатива: использовать авто с водителем, или временно пересесть на общественный транспорт.
Госуслуги и запись на замену не дают временного водительского права..