Здравствуйте, Екатерина.
Исхожу из того, что квартира, оформленная на имя супруга, приобретенная в браке, является общим имуществом супругов. (ст.34 СК РФ).
Составить завещание и удостоверить его у нотариуса Ваш супруг может. У него есть такое право в силу свободы завещания (см. ст.1118 ГК РФ, ст.1119 ГК РФ).
При наследовании супруге придется в судебном порядке исключать из состава наследства 1/2 доли в общей квартире и выделять ее как свою супружескую долю, другая 1/2 доли будет наследоваться (наследственная доля). При наличии завещания в пользу сына наследником будет сын.
При этом, если супруга на момент смерти мужа будет нетрудоспособной, то независимо от наличия завещания она будет вправе рассчитывать на обязательную долю в наследстве (ст.1149 ГК РФ).
Подарить квартиру, оформленную на себя Ваш супруг не сможет. Договоры дарения подлежат обязательному нотариальному удостоверению (п.3 ст.574 ГК РФ), и в отсутствие нотариально удостоверенного согласия супруги на дарение нотариус сделку не удостоверит (см. п.3 ст.35 СК РФ, ст.48 Основ законодательства о нотариате).
На данный момент у Вас есть возможность внесения сведений о себе в ЕГРН, как об участнике общей совместной собственности. П.3 ст.42 ФЗ О государственной регистрации недвижимости устанавливает
3. Государственная регистрация права общей совместной собственности на недвижимое имущество осуществляется на основании заявления одного из участников совместной собственности, если законодательством Российской Федерации либо соглашением между участниками совместной собственности не предусмотрено иное.
Для внесения записи в ЕГРН Вам нужно обратиться в МФЦ и предоставить свидетельство о заключении брака, квитанцию об оплате госпошлины (4 000 рублей), сведения о квартире (кадастровый номер или адрес). Кроме того, можете подать заявление о невозможности регистрационных действий без личного участия правообладателя (см.ст.36 ФЗ О государственной регистрации недвижимости).
В этом случае отчуждение квартиры будет невозможно без Вашего участия, осложнено, помимо законодательных правилах дарения еще и этим.
Все остальные нюансы по ситуации могут быть рассмотрены индивидуально в чате.
С уважением
Не сможет. Потому что квартира на сегодняшний день не разделена на доли.