Как прекратить службу в ФСБ после окончания контракта при отказе подписывать новый?

В период мобилизации (он еще не окончен),  безусловное увольнение по окончанию контракта невозможно, поскольку в силу п. 4 Указа Президента РФ № 647 от 21.09.22 года, действие контрактов продлено до окончания этого периода

Безусловное увольнение возможно только по указанным в этом Указе основаниям:

а) по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе;

б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;

в) в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.

Как видите иных оснований пока не предусмотрено, поэтому служить придется до окончания периода мобилизации, после чего Вы будете уволены по окончанию срока службы, (ч. 1 ст. 51 Закона О воинской обязанности и военной службе № 53-фз от 19998 года) либо по иному, выбранному Вами основанию

Примеры

В силу пункта 4 Указа Президента РФ контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным данным Указом.
 21 сентября 2022 г. в Российской Федерации осуществляется частичная мобилизация, период которой не окончен.
 Поскольку к основным принципам мобилизации пунктом 2 ст. 2 Федерального закона «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» отнесен принцип взаимосогласованности, пунктом 5 Указа Президента РФ в период частичной мобилизации установлены единые основания увольнения с военной службы для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту:
 — по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе;
 — по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;
 — в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.
 Таким образом, с 21 сентября 2022 г. военнослужащий подлежит увольнению с военной службы только при наличии выше перечисленных оснований, список которых в настоящее время является исчерпывающим.

(Апелляционное определение Южного окружного военного суда от 10.02.2023 N 33а-153/2023 )

При таких данных гарнизонный военный суд пришел к правильному выводу о том, что поскольку исходя из нормоположений, действующих в настоящее время, административный истец не подлежит увольнению ни по одному из оснований, перечисленных в Указе Президента РФ от 21 сентября 2022 года N 647, то у командования отсутствовали причины для проведения с ним мероприятий, связанных с увольнением его с военной службы. Поэтому судом первой инстанции правомерно отказано в удовлетворении требований административного истца.

(Апелляционное определение Южного окружного военного суда от 03.03.2023 N 33а-196/2023)

При изложенных обстоятельствах на А. в полной мере распространялось действие Указа Президента РФ от 21 сентября 2022 года N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации», согласно п. 4 которого контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным этим Указом.
 При этом в п. 5 данного Указа определено, что в период частичной мобилизации военнослужащие, проходящие военную службу по контракту, могут быть уволены с военной службы лишь по трем основаниям: по возрасту, по состоянию здоровья, в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.

(Апелляционное определение 2 Восточного окружного военного суда от 09.03.2023 N 33а-102/2023 )

чтобы завершить контракт по окончании его срока?

 Он может подать такой рапорт, но надо понимать, что

в силу Указа Президента 580 дсп от 2023 года, возможно увольнение по 

окончанию контракта, 

по собственному желанию, 

ОШМ, 

при признании ограниченно годным, 

в связи с прекращением военной службы в период ее приостановления, 

в связи с переводом на федеральную государственную гражданскую службу, 

в связи с несоответствием установленным нормативными правовыми актами Российской Федерации требованиям к военнослужащим Вооруженных Сил Российской Федерации, осуществляющим работы по эксплуатации ядерных боеприпасов, 

в связи с наделением его полномочиями высшего должностного лица субъекта Российской Федерации (руководителя высшего исполнительного органа государственной власти субъекта Российской Федерации) либо назначением его временно исполняющим обязанности высшего должностного лица субъекта Российской Федерации (руководителя высшего исполнительного органа государственной власти субъекта Российской Федерации) или наделением его полномочиями сенатора Российской Федерации (назначением сенатором Российской Федерации), 

в связи с избранием его депутатом Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации, депутатом законодательного (представительного) органа государственной власти субъекта Российской Федерации, депутатом представительного органа муниципального образования либо главой муниципального образования и осуществлением указанных полномочий на постоянной основе 

и по семейным обстоятельствам.

Но есть ряд условий:

Для этого должно быть дано заключение аттестационной комиссии с учетом задач возложенных на федеральный орган исполнительной власти

Как сами понимаете, по указанным основаниям могут и не уволить, поскольку это право командования и оно будет реализовываться с учетом многих обстоятельств.

Вчастности такое увольнение возможно в исключительных случаях (перечень которых ничем не определен и все решается применительно к конкретной ситуации) и с учетом стоящих перед частью задач, что дает возможность командованию дифференцированно подходить к решению этого вопроса.