Спустя месяц мне на Госуслугах приходит официальный отказ с кучей грамматических ошибок, от человека без должности по крайне нелепой причине

Кирилл!

С формальной точки зрения в плане воинского учёта у Вас есть и такая обязанность по статье 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» №53-ФЗ от 28.03.98:

сообщить в письменной или электронной форме через Портал государственных и муниципальных услуг (функций) в военный комиссариат либо в местную администрацию соответствующего поселения, муниципального или городского округа, осуществляющую первичный воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы (учебы) или должности, сведения о переезде на новое место пребывания, не подтвержденные регистрацией, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию либо явиться в военный комиссариат в двухнедельный срок со дня наступления указанных событий (при отсутствии уведомления от военного комиссариата об изменении сведений в автоматизированном режиме с учетом требований статьи 8.1 настоящего Федерального закона);

Если исходить из буквального толкования положений закона, Вы должны сообщать об измнении места пребывания, не подтверждённого регистрацией, в других случаях информация в военкомат поступает в автоматическом режиме.

Тем не менее, как я полагаю, в данной ситуации претензий к Вам быть не должно, речь идёт о технической ошибке (что вполне может быть в наших реалиях), а потому Вы можете повторить уведомление военкомата либо обратиться к ним лично для уточнения данных воинского чёта, чтобы быть уверенным в решении всех вопросов и подтверждении факта Вашего воинсокго учёта по новому месту жительства.