И с чьих средств будет выплачиваться ущерб, если суд встанет на моё сторону?

Добрый вечер Анна, 

Ваш план действий и рекомендации
Заявление в Прокуратуру — правильный шаг.

Прокуратура проведет проверку на предмет:

Соблюдения законодательства об образовании.
Соблюдения правил охраны жизни и здоровья детей.
Факта сокрытия несчастного случая.
По итогам они вынесут представление детскому саду и могут привлечь администрацию к административной ответственности.

Параллельно подайте исковое заявление в суд. Обращение в прокуратуру не отменяет необходимости подачи гражданского иска о возмещении морального вреда и всех понесенных расходов (лекарства, возможно, дополнительные анализы и т.д.).

Ответчик: Муниципальное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад №...».
Требования: Взыскать компенсацию морального вреда (сумму определите сами, исходя из перенесенных ребенком страданий, но будьте готовы ее обосновать) и возмещение материальных затрат.
Приложите: Медицинские документы из больницы, чеки на лекарства, фото ожога, ваши объяснения, возможно, заключение психолога о стрессе у ребенка.
Четко сформулируйте свою позицию. Вы можете донести ее до прокуратуры и суда:

Вы требуете не «наказать виновных», а возместить вред, причиненный ребенку.
Вы считаете воспитателя хорошим педагогом и не настаиваете на ее увольнении, но считаете, что она и администрация сада должны нести ответственность за халатность и сокрытие факта травмы.
Ваша цель — чтобы подобное никогда не повторилось с другими детьми.

Воспитателю грозит увольнение, и это законно. Но ваше мнение может смягчить последствия для нее лично.
Компенсацию выплатит детский сад, а не воспитатель из своего кармана.
Действуйте через прокуратуру и суд. Это заставит систему работать и предотвратит подобные инциденты в будущем.
Ваши требования справедливы: вы защищаете права своего ребенка на безопасность и здоровье.

Здравствуйте, Анна.

Тут вина воспитатель 100%. Она может понести дисциплинарную ответственность за травму ребёнка в детском саду. Решение о взыскании принимает комиссия по расследованию произошедшего, на основании его результатов директор сада назначает наказание. В зависимости от тяжести проступка это может быть замечание, выговор или увольнение. 
Если воспитатель непреднамеренно причинил вред ребёнку из-за ненадлежащего соблюдения мер безопасности, юридическая ответственность ложится на детский сад. В соответствии со статьёй 1068 Гражданского кодекса РФ, учреждение обязано возместить родителям пострадавшего как материальный, так и моральный ущерб. При этом воспитатель не несёт прямой финансовой ответственности, но заведующая детским садом имеет право наложить на него штраф, равный сумме выплаченной компенсации. 
Если воспитатель, не выполняя должным образом свои обязанности, наносит намеренный вред ребёнку, что приводит к серьёзным травмам, виновному грозит уголовная ответственность. В таких случаях родители могут обратиться с иском к детскому саду или конкретному воспитателю, если будет доказана его вина.
Согласно статье 1073 Гражданского кодекса РФ, ответственность за вред здоровью, причинённый малолетнему во время его нахождения под присмотром в образовательной организации, всегда ложится на образовательную организацию.