Могут ли возбудить уголовное дело, если пострадавший не писал заявление?

Да могут, кроме дел частного и частно-публичного обвинения, а это к примеру, побои, причинение легкого вреда здоровью, изнасилование (без отягчающих), незаконное проникновение в жилище. Практически по всем другим статьям УК РФ дело может быть возбуждено без заявления потерпевшего, если органам станет известна информация из других источников, например, из больницы, сми, из других органов, по оперативной информации.