Первые два раза даже в призывном возрасте получал без проблем

Здравствуйте! Похоже, вам отказывают незаконно.

ФЗ № 53-ФЗ «О воинской обязанности…», ст. 22 — определяет призывной возраст как 18–30 лет (с 01.01.2024). Т.е. в 38 лет вы вне призывного возраста.  

Требование представить военный билет относится только к мужчинам призывного возраста (18–30 лет) (Адм. регламент МВД № 186 от 31.03.2021 п.29.1.4). 

Что важно по нормам:

Перечень документов в Адм. регламенте МВД № 186 исчерпывающий; военный билет фигурирует только для призывников. Отсутствие не требуемого от вас документа не может быть основанием для отказа. 
Отказать в оформлении/выдаче загранпаспорта можно, только если есть временное ограничение права на выезд по ст. 15 Закона № 114-ФЗ (допуск к гостайне, неисполненное решение суда с запретом выезда, розыск и т.п.). Отсутствие военного билета в 38 лет к таким основаниям не относится.  

Что сделать сейчас (коротко):

Попросить письменное уведомление об отказе с указанием пункта регламента (выдают по форме Прил. № 16 к приказу № 186).  
Если причиной указали «нет военного билета» — подайте жалобу начальнику подразделения по вопросам миграции (ГУВМ МВД) и в прокуратуру. В жалобе сослаться на: Адм. регламент № 186 (исчерпывающий перечень; межведомственные запросы) и ст. 15 Закона № 114-ФЗ.  
На всякий случай проверьте в личном кабинете Госуслуг/у ФССП, нет ли действующего запрета на выезд по ст. 15 — если есть, его и должны были указать в отказе.  

Если хотите, могу написать жалобу на отказ, можете написать мне в чат.

Буду Рада плюсику, для меня это очень важно. 

Если мои материалы вам полезны, Вы можете отблагодарить меня по ссылке m.pravoved.ru/pay/lawyer-reward/id/4241969/

даже 50-100-200 ₽ очень помогают продолжать писать и отвечать на вопросы. Спасибо за любую поддержку!

С уважением,

Набатова Екатерина