Можем ли мы попробовать вступить в наследство на эту квартиру, т к проживаем и если будем оплачивать полностью ЖКХ?

В случае отсутствия наследников имущество становится выморочным и на него может быть оформлено право муниципальной  собственности в соответствии со статьей 1151 ГК .

Если речь о квартире в Москве, то вряд ли Вам органы власти дадут прожить в квартире 18 лет.

Но если у Вас получится прожить в квартире более 18 лет, оплачивая все платежи, то в судебном порядке можно будет признать за Вами право собственности на эту квартиру в силу приобретательной давности на основании ст. 234 Гражданского Кодекса РФ:

1. Лицо — гражданин или юридическое лицо, — не являющееся собственником имущества, но добросовестно, открыто и непрерывно владеющее как своим собственным недвижимым имуществом, если иные срок и условия приобретения не предусмотрены настоящей статьей, в течение пятнадцати лет .., приобретает право собственности на это имущество (приобретательная давность).

К этим 15 годам надо ещё прибавить 3 года срока исковой давности, и после 18 лет можно обращаться в суд.

Если отсутствуют наследники или никто не принял наследство то имущество — квартира считается выморочным в соответствии со ст. 1151 ГК РФ и переходит к в собственность муниципального образования.

Если указанные объекты расположены в субъекте Российской Федерации — городе федерального значения Москве, Санкт-Петербурге или Севастополе, они переходят в собственность такого субъекта Российской Федерации.