Можно ли получить компенсацию за вред здоровью с водителя при ДТП?

Да, уголовные дело возбуждено

 В уголовном деле предъявляйте гражданский иск о возмещении ущерба, причиненного преступлением, и компенсации морального вреда на основании ст. 42 Уголовно-процессуального Кодекса РФ:

3. Потерпевшему обеспечивается возмещение имущественного вреда, причиненного преступлением, а также расходов, понесенных в связи с его участием в ходе предварительного расследования и в суде, включая расходы на представителя, согласно требованиям статьи 131 настоящего Кодекса.

 
4. По иску потерпевшего о возмещении в денежном выражении причиненного ему морального вреда размер возмещения определяется судом при рассмотрении уголовного дела или в порядке гражданского судопроизводства.

Срок проверки материала составляет 3 суток. Продлен он может быть до 10 и 30суток, о чем выносятся отдельные постановления, в которых должно прописываться в связи с чем срок необходимо продлить. 

По окончанию проверки принимается решение.

Это оформляется постановлением о возбуждении либо об отказе в возбуждении уголовного дела.

Вас  должны опросить. В случаи  возбуждения дела допросить как потерпевшего, вынести постановление о признании потерпевшим 

ст. 42 УПК РФ.

www.consultant.ru/docum...

Помимо все прочего вы,  имеете право получать на руки постановление о возбуждении уголовного дела о признании вас потерпевшим, о приостановлении предварительного следствия и иные документы затрагивающие их  интересы.

Более подробно об этом в ч. 13. ст. 42 УПК РФ. 

 И гражданским истцом.  

Это регламентируется ст. 44 УПК РФ.

www.consultant.ru/docum...

Если конкретному лицу предъявили обвинение, дело направляют в прокуратуру для проверки законности а потом в суд для рассмотрения.

Это процедура вкратце.

Что касается бездействия или вынесения неправомерного решения.

Его  можете обжаловать

В прокуратуру

УПК РФ Статья 124. Порядок рассмотрения жалобы прокурором, руководителем следственного органа

 1. Прокурор, руководитель следственного органа рассматривает жалобу в течение 3 суток со дня ее получения. В исключительных случаях, когда для проверки жалобы необходимо истребовать дополнительные материалы либо принять иные меры, допускается рассмотрение жалобы в срок до 10 суток, о чем извещается заявитель.

2. По результатам рассмотрения жалобы прокурор, руководитель следственного органа выносит постановление о полном или частичном удовлетворении жалобы либо об отказе в ее удовлетворении.

В суд.

УПК РФ Статья 125. Судебный порядок рассмотрения жалоб

1. Постановления органа дознания, дознавателя, следователя, руководителя следственного органа об отказе в возбуждении уголовного дела, о прекращении уголовного дела, а равно иные действия (бездействие) и решения дознавателя, начальника подразделения дознания, начальника органа дознания, органа дознания, следователя, руководителя следственного органа и прокурора, которые способны причинить ущерб конституционным правам и свободам участников уголовного судопроизводства либо затруднить доступ граждан к правосудию, могут быть обжалованы в районный суд по месту совершения деяния, содержащего признаки преступления. 

Пока вы  просто заявитель, то ваше оружие это жалобы, обращение, личное посещение вышестоящего руководства (Руководства ГУВД, Прокуратуры района и области)

Графики приема вы можете узнать на официальном сайте.

Жалобу можно направить на официальный сайт либо почтой либо лично Лучше все делать лично. Так больше шансов быть услышанным. Пишите в свободной форме в виде рассказа с указанием дат, время. Каждое слово подкрепите доказательством, при наличии.

Возможно ли получить компенсацию за моральный и материальный вред, от водителя? Какой должен быть размер компенсации? Когда подавать иск в суд?

 вы имеете право на все вышеперечисленное.

Точную сумму сказать нельзя.

Моральный вред при причинении тяжкого вреда здоровью при ДТП может исчисляться суммами от 500 000 и более.

Плюс расходы на лечение, препараты,  реабилитацию, компенсацию понесенных расходов, утрата заработка.