Или надо дополнительно подавать досудебную претензию все равно?

Здравствуйте.

правильно ли я понимаю, что здесь вытекает спор по возврату денежных средств по договору займа?

 Абсолютно верно.

За невозврат займа (или его части) с заемщика помимо невозвращенной суммы могут взыскать  проценты на сумму долга исходя из ст. ст. 395, 811 ГК РФ.

 в марте она должна была вернуть, но вернула только 30.000 на сегодняшний день...

в таком случае проценты начисляются исходя из какой даты?

Расчет процентов за пользование денежными средствами делаете от даты следующей за днем в который она должна была вернуть займ. 

И также хотелось бы уточнить, считается ли досудебным урегулированием спора обращение в полицию и рекомендация ими обратиться в суд? Или надо дополнительно подавать досудебную претензию все равно?

 Не считается.

Нужно направлять требования на адрес регистрации должницы.

Здравствуйте. Обращение в полицию досудебным урегулированием спора не является. Если Вы будете взыскивать сумму через суд, то Вы имеете право направить досудебную претензию. Однако для данной категории споров обязательный досудебный порядок урегулирования спора не обязателен. Вы можете обратиться в суд сразу с иском.

правильно ли я понимаю, что здесь вытекает спор по возврату денежных средств по договору займа?

С точки зрения ГК РФ незаконное удерживание денежных средств является неосновательным обогащением.

В соответствии с п. 1 ст. 1102 ГК РФ лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.

Вместе с тем если в последующем была написана расписка можно считать договором займа.

в таком случае проценты начисляются исходя из какой даты?

Проценты Вы можете начислить с момента когда родственница должна вернуть денежные средства. Если расписка была написана в декабре на 6 месяцев, то срок исполнения обязательства заканчивается в июне. Проценты начисляете с момента окончания расписки.

Как усматривать то, что ею было скрыто и снято 370.000 тыс с карты умершего брата бабушки?

Это можно доказать выпиской с банковского счёта бабушки.

правильно ли я понимаю, что здесь вытекает спор по возврату денежных средств по договору займа?

 Да, спор из договора займа. Вы можете подать сейчас исковое заявление о взыскании денежных средств с нее в суд общей юрисдикции по месту ее жительства (ст. 309 ГК РФ, 808- 811 ГК РФ)

2. В подтверждение договора займа и его условий может быть представлена расписка заемщика или иной документ, удостоверяющие передачу ему займодавцем определенной денежной суммы или определенного количества вещей.

в таком случае проценты начисляются исходя из какой даты?

Датой начисления процентов нужно считать дату следующую за датой отдачи. Если в марте она должна была отдать и не отдала, то начисляете проценты на следующий день после даты отдачи на 340 тысяч рублей, т.к. 30 тысяч уже вам отданы

Добрый день.

Поскольку имела место расписка, то это аналог займа, а не необоснованное обогащение. И не важно, что это были средства с карты умершего брата. Заявляйтесь на получение судебного приказа и возбуждайте исполнительное производство.

Досудебный порядок в виде отправки требования о возврате средств — выдержать нужно. 

Проценты за пользование средствами, если это не было предусмотрено в расписке, то по 395 ст. ГК РФ (от ключевой ставки) начисляете со следующего дня после даты возврата средств по расписке.

Здравствуйте! В вашем случае произошла переквалификация отношений с неосновательного обогащения (ст.1102 ГК РФ ) когда родственница без правовых оснований сняла денежные средства, путем расписки изменила правоотношения на заёмные ст.808 ГК РФ. Поэтому обращайтесь с досудебной претензией о возврате займа, начисление процентов за пользование чужими денежными средствами  начинается со следующего дня снятия денежных средств по ставке рефинансирования, с учётом если она изменялась когда частично денежные средства возвращались. В случае не возврата, обращайтесь в суд.