Подскажите пожалуйста можно ли сменить цель "работа" на "частная" гражданину еаэс в миграционной карте без выезда?

Нет, изменить указанную в миграционной карте цель въезда без выезда из России невозможно.

Согласно миграционному законодательству РФ, цель визита, указанная в миграционной карте, фиксируется при въезде и не подлежит изменению на территории страны.

Если гражданин ЕАЭС (например, гражданин Казахстана, Беларуси, Кыргызстана или Армении) хочет изменить цель пребывания с «работа» на «частная», необходимо выехать из России и при повторном въезде указать новую цель визита.

Однако, если у вас есть основания для пребывания в России (например, оформленный патент, трудовой договор), то смена цели может не требоваться, так как граждане ЕАЭС имеют право работать без оформления патента.