Екатерина, здравствуйте.
Насколько я понял, в браке с отцом ребенка Вы не состоите. В этом случае отцовство устанавливается на основании совместного заявления отца и матери ребенка, подаваемого в ЗАГС (см. п.3 ст.48 СК РФ), либо в судебном порядке при невозможности подачи такого заявления (ст.49 СК РФ)
Федеральный закон Об актах гражданского состояния регулирует саму процедуру регистрации установления отцовства и п.5 ст.50 данного закона предусматривает возможность подачи отдельных заявлений отца и матери, при этом подпись в заявлении не присутствующего родителя свидетельствуется нотариально.
В случае, если отец или мать ребенка не имеет возможности лично подать в орган записи актов гражданского состояния заявление, предусмотренное пунктом 1 настоящей статьи, их волеизъявление может быть оформлено отдельными заявлениями об установлении отцовства. Подлинность подписи лица, не имеющего возможности присутствовать при подаче такого заявления, должна быть нотариально засвидетельствована.
За границей нотариальные функции, в т.ч. и свидетельствование подписи осуществляют российские консульства. -см. ст.26 Консульского устава РФ.
В зависимости от того, в каком государстве живет отец детей, может быть рассмотрен и вариант свидетельствования подписи местным нотариусом.
Например, мне известно, что в настоящее время в связи с особенностями внутренней политики РФ в отношении мигрантов, многие выехали за пределы РФ в государства, являющиеся участниками Кишиневской конвенции о правовой помощи и правовых отношениях по гражданским, семейным и уголовным делам. Нотариальные документы данных государств пользуются в РФ той же юр.силой, что и нотариальные документы российских нотариусов.
В Вашем же случае речь идет не более чем о свидетельствовании подписи. взаявлении по данной форме
Установление отцовства в судебном порядке представляется также не простым делом, поскольку не ясно, как Вы будете доказывать отцовство в отсутствие возможности явки отца детей в случае назначения судом экспертизы. Вместе с тем, не исключено и признание иска отцом, находящимся за пределами РФ, путем оформления заявления со свидетельствованием подписи нотариально.
При необходимости подробной консультации по вопросу Вы можете обратиться ко мне в чат.
С уважением
Подать заявление в ЗАГС по доверенности не получится, за исключением регистрации установления отцовства на основании решения суда.
Возможна подача совместного заявления через портал Госуслуг, но если он — гражданин другой страны, то этот вариант отпадает. Устанавливайте отцовство в судебном порядке.