Добрый день.
Если вы в квартире зарегистрированы, то да, вы вправе в ней проживать. Если нет, то проживать и зарегистрироваться в жилом помещении, вы сможете только с согласия вашей свекрови, так как она собственник жилого помещения.
Согласно ст. 20 ГК РФ «Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.
В настоящий момент ребенок зарегистрирован вместе с папой (если вы там не зарегистрированы). Однако после реновации и предоставлении нового жилого помещения, папа должен еще и согласиться на регистрацию несовершеннолетнего, опри условии что вы там не зарегистрированы.
Если вы там с ребенком зарегистрированы и не проживаете, ваша свекровь вполне может обратиться в суд на снятие вас и несовершеннолетнего с регистрационного учета.