Марина, добрый день.
Подскажите пожалуйста патент наряду с какой системой налогообложения у Вас используется?
1) Как правильно зарегистрировать дополнительную подработку, чтобы оплачивать налоги?
Достаточно указать дополнительный ОКВЭД.
При этом отмечу, что в целом ИП может осуществлять любую не запрещенную законом деятельность, даже если такой ОКВЭД не указан, хотя Минфин придерживается другого мнения https://www.klerk.ru/doc/470508/ , хотя ФНС отвечая на такой вопрос по ЮЛ, такой вариант все же допускает: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/72540238/
2) Может ли муж, не закрывая ИП, стать самозанятым и подработку регистрировать как самозанятый? Как это правильно делать с учетом того, что сейчас ИП патент?
Здесь важно отметить, что не допустимо совмещение НПД с другими режимами, но поскольку Ваш муж уже ИП в этом и нет необходимости.
3) Могу ли я зарегистрировать самозанятость, я буду принимать звонки, общаться с клиентами, а выполнять работы будет муж? Оформлять какие то трудовые отношения или платить ЗП мы не планируем.
Не лучший вариант. Здесь во первых риск переквалификации данных отношений в трудовые. Во вторых
4) Как оформлять оплату клиента, если клиент заплатил наличными?
Тут в большей степени зависит от того какая в конечном итоге будет система налогообложения. Если НПД, то чеки Вы формируете в приложении «Мой налог» - ст. 14 ФЗ 422
Если УСН, то Вы должны понимать, что при расчетах с физическими лицами обязательно применение ККТ (ФЗ-54)
При ПСН в ряде случаев допускается не применять ККТ, но необходимо выдавать БСО.
5) Нужен ли кассовый аппарат?
См. ответ на п. 4
6) Нужен ли договор на оказание услуг?
По хорошему нужен. Его форма будет зависеть от Ваших потребностей, например возможен такой вариант как «Счет-договор»
7) Какие вообще могут быть подводные камни?
Вы должны понимать, что подобного рода консультация возможна в рамках полноценной услуги в чате, так как нюансов очень много. ОТветить на этот вопрос в рамках данного ответа не представляется возможным.
---
Резюмируя, поскольку Ваш муж уже является ИП, то я рекомендовал Вам осуществлять новую деятельность уже в рамках действующего ИП, либо используя УСН+патент либо если возможно в рамках патента на старую деятельность + новый патент (если Ваш вид деятельности подходит под применение ПСН).