Можно обойтись без паспорта и формальностей?

Константин, здравствуйте!

Нельзя

Константин, добрый вечер! 
Вам в любом случае необходимо восстановить паспорт. 
Но пока Вы можете использовать другие документы, которые позволят вам нивелировать сложности вызванные утерей паспорта. 
Это: 
Загранпаспорт гражданина РФ (по нему можно в том числе совершать поездки и перелёты),

Удостоверение личности военнослужащего РФ (иначе военный билет), как способ идентификации Вашей личности, 

Удостоверение личности гражданина РФ на срок оформления паспорта гражданина РФ, которое будет Вам выдано. 
Также для отдельных видов правоотношений допустимо использовать и другие документы (ИНН, СНИЛС, ВУ). Но перечень ограничен, поэтому единственной рекомендацией является не откладывать получение паспорта гражданина РФ (внутреннего) взамен утраченного.