Работник написал заявление на увольнение по собственному с 28 мая, через четыре дня написал заявление об увольнении по семейным обстоятельствам не желая работать 14 дней до расчёта

Здравствуйте, Наталья! 

Общие основания расторжения ТД определены ст. 77 ТК РФ, где нет понятия семейные обстоятельства.

Согласно ст. 80 ТК РФ:

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи),

Какие другие случаи — законом не установлено, т.е. перечень таких случаев остается открытым. Если же обстоятельства действительно не позволяют работнику продолжать работу по смыслу ст. 80, то тогда он должен быть уволен в срок, указанный в заявлении.

Для оценки уважительности  можно воспользоваться перечнем таких причин (п. 1)  в постановлении Госкомтруда СССР N 198, ВЦСПС N 12-21 от 9 июля 1980 г. «Об утверждении разъяснения „О порядке применения пункта 16 Постановления ЦК КПСС, Совета Министров СССР и ВЦСПС от 13 декабря 1979 г. N 1117 “О дальнейшем укреплении трудовой дисциплины и сокращении текучести кадров в народном хозяйстве», который действует в случаях, не противоречащих ТК РФ.

Если нет документального подтверждения таких семейных обстоятельств, то можете не реализовывать данное заявление и указать в приказе соответствующую дату расторжения ТД. Но ответ дать работнику надо.