Как добиться операции по грыже шейного отдела мобилизованному при ухудшении состояния?

тут возможно это сделать через отпуск. 

В частности если ему будет предоставлено отпуск, то он в отпуске имеет право сделать операцию, при этом отпуск должен быть ему продлен.

В силу Положения о порядке прохождения военной службы (Указ 1237 от 1999 года)

18. Военнослужащим, заболевшим во время основного или дополнительного отпуска, кроме отпуска по личным обстоятельствам, основной или дополнительный отпуск продлевается на соответствующее количество дней болезни.Продление отпуска в этом случае осуществляется командиром воинской части на основании справки из лечебного учреждения.

на операцию в Вишневского

 Почему именно там?

Стоит также учитывать положения статьи 16 ФЗ «О статусе военнослужащих» №76-ФЗ от 27.05.98:

При отсутствии по месту военной службы или месту жительства военнослужащих либо по месту прохождения военных сборов гражданами, призванными на военные сборы, военно-медицинских организаций и (или) при отсутствии в них отделений соответствующего профиля, специалистов или специального медицинского оборудования, а также в экстренных или неотложных случаях военнослужащие и граждане, призванные на военные сборы, имеют право на получение медицинской помощи, прохождение медицинских осмотров, диспансеризации в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения.

Но возможность лечиться в гражданской больнице зависит от рекомендаций врачей относительно необходимости оказать ему медицинскую помощь в неотложном порядке.