И как это влияет на дело при новом рассмотрении?

Вероника, здравствуйте! Полномочия суда кассационной инстанции указаны в ст.401.14 УПК РФ.Ознакомиться здесь:

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34481/93ffecb42f259484eb339f9ed8d7679d954e7bba/

 могут ли отправить дело на новое рассмотрение в суд первой инстанции?

В соответствии с положениями вышеуказанной статьи могут:

3) отменить приговор, определение или постановление суда и все последующие судебные решения и передать уголовное дело на новое судебное рассмотрение либо возвратить дело прокурору;

4) отменить приговор суда апелляционной инстанции и передать уголовное дело на новое апелляционное рассмотрение;

5) отменить решение суда кассационной инстанции и передать уголовное дело на новое кассационное рассмотрение;

 В какои случае это происходит?

В соответствии со ст.401.15 УПК РФ

Основаниями отмены или изменения приговора, определения или постановления суда при рассмотрении уголовного дела в кассационном порядке являются существенные нарушения уголовного и (или) уголовно-процессуального закона, повлиявшие на исход дела,

И как это влияет на дело при новом рассмотрении?

Все нарушения норм материального и процессуального права будут устранены.

Могут ли сделать хуже?

С учетом положений ст. 401.16 УПК РФ суд кассационной инстанции при рассмотрении уголовного дела может смягчить назначенное осужденному наказание или применить уголовный закон о менее тяжком преступлении, но не вправе усилить наказание или применить закон о более тяжком преступлении. При наличии оснований для поворота к худшему судебное решение подлежит отмене с передачей уголовного дела на новое судебное разбирательство соответственно в суд первой или апелляционной инстанции либо с возвращением уголовного дела прокурору.Ознакомиться здесь:

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34481/5f0385292fd892f26162258d024dea197ad94a89/

В соответствии со ст. 392 и ч. 6 ст. 401.16 УПК РФ указания суда кассационной инстанции обязательны при повторном рассмотрении уголовного дела судами первой и апелляционной инстанций, а также для прокурора в случае возвращения ему уголовного дела в порядке, установленном ст. 237 УПК РФ.

Здравствуйте!

подали кассационную жалобу в суд на снижение срока, если срок снизят или оставят без изменений, могут ли отправить дело на новое рассмотрение в суд первой инстанции? В какои случае это происходит? И как это влияет на дело при новом рассмотрении? Могут ли сделать хуже?

Суд кассационной инстанции при рассмотрении уголовного дела может смягчить назначенное осуждённому наказание или применить уголовный закон о менее тяжком преступлении.

Да, могут передать уголовное дело на новое судебное рассмотрение согласно ст.401.14 УПК РФ.

Это может произойти с учетом заявленных требований в кассационной жалобе и требованиям ст.401.14 УПК РФ. 

При наличии оснований для поворота к худшему, решение подлежит отмене с передачей уголовного дела на новое судебное разбирательство соответственно в суд первой или апелляционной инстанции

Подробнее тут: epp.genproc.gov.ru/web/proc_68/activity/legal-education/explain?item=64258933

Согласно разъяснений, данных в Постановлении Пленума Верховного Суда РФ от 23 декабря 2008 г. N 28 «О применении норм Уголовно-процессуального кодекса Российской Федерации, регулирующих производство в судах апелляционной и кассационной инстанций», указано, что суд первой инстанции при новом рассмотрении уголовного дела вправе усилить наказание или применить закон о более тяжком преступлении, если предыдущий приговор был отменен судом кассационной инстанции по этим основаниям по жалобе потерпевшего.

Подробнее тут: https://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/1689408/

Но это не ваш случай, если жалобу подавали вы и нужно понимать ее требования.