Добрый день, Анна.
Исходя из той информации, которую Вы изложили в тексте вопроса — можете, так как предродового и послеродового медицинского отпуска (на который выдан «больничный») входит в стаж работы, за который начисляется и предоставляется очередной отпуск. Если «кусочка» не хватит, его вычтут из того периода, когда Вы после окончания отпуска по уходу за ребёнком выйдете на работу.
А заявление пишите на имя руководителя, наделённого правом приёма и увольнения работников, указав свою фамилию и должность.
В тексте заявления пишите: Прошу предоставить очередной отпуск за период работы с 24 сентября 2013 года по 23 сентября 2014 года, продолжительностью 28 календарных дней, с ....(какого числа хотите уйти в отпуск). Дату ухода в отпуск рассчитайте таким образом, чтобы окончание отпуска не «перешагнуло» за дату ухода в медицинский отпуск.