По какому закону можно добиться увольнения учителя, распространяющего слухи о коллегах и учениках

п. 8 ч. 1 ст. 81 ТК РФ (совершение работником, выполняющим воспитательные функции, аморального проступка, несовместимого с продолжением данной работы).

При этом работодатель самостоятельно определяет, является ли тот или иной проступок  аморальным, на основе собственных понятий о морали. 

Здравствуйте, Иль, г. Санкт-Петербург!

А именно распускает слухи про учителей и учеников, нанося в свою очередь вторым моральные травмы.

Вместо занятий физкультуры класс может слушать какие-то байки про личную жизнь пед. состава/учеников. Вот некоторые из них: у одной из молодых учительниц нашли бесплодие, один ученик является странным, потому что его воспитывает только мама, сравнение нашего веса с тушками баранов и многое другое.

За какой закон (кроме устава школы) можно зацепиться, чтобы уволить такого некомпетентного сотрудника.

Необходимо неоднократное дисциплинарное взыскание педагогическому работнику. Нужно чтобы кто-то подал жалобу директору школы. Расторжение трудового договора в случае совершения работником, выполняющим воспитательные функции, аморального проступка, несовместимого с продолжением данной работы.
Согласно пункту 8 частью 1 статьи 81 Трудового кодекса Российской Федерации трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях совершения работником, выполняющим воспитательные функции, аморального проступка, несовместимого с продолжением данной работы.