В каких долях по итогу им положено это имущество?

Ничего тут нет запутанного.
После смерти вашего отца:

1/3: 2 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2  доля бабушки после смерти сына если вы признаете право на  наследство после отца в судебном порядке и у вас тогда 1/6
или 

1/3+ 1/3=2/3 — доля бабушки, если не признаете. 

после смерти бабушки вы с тетей делите ее долю пополам:

либо 1/2 :2 = 1/4 и тогда 1/6 + 1/4 = 5/12 вам, и 1/4 + 1/3 = 7/12 у тети

либо 2/3: 2 = 1/3 и тогда 1/3 вам и 2/3 тете ( для справки 1/3 это 4/12)

Добрый день!

многое зависит от того можно ли говорить о фактическом принятии Вами наследства согласно ст.1153 ГК.

по ней признается, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:

вступил во владение или в управление наследственным имуществом;

принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;

произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;

оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.

если можете доказать фактическое принятие наследства, то наследуете за отцом 1/6; если нет, то долю полностью либо бабушка приняла, либо если не успела принять, то начинают действовать положения наследственной трансмиссии (ст.1156 ГК). 

соответственно Вы с тетей, если не можете доказать фактическое принятие наследства, делите либо 2/3 доли, либо 1/3 в общем порядке и 1/3 в порядке наследственной трансмиссии.

таким образом, на мой взгляд, при отсутствии бабушкиного завещания на Вас или ее отказа от доли сына, Вы можете получить 5/12 (1/6+1/4[1/2 разделить 2]), а в худшем случае — 1/3.

Нотариус местный настаивает, что у нас с тёткой по 1/2. Но адвокат говорит, что нет

нотариус прав только, если бабушка писала завещание на Вас, 2/3 квартиры входят в ее наследственную массу и тетя имеет право на обязательную долю либо бабушка отказалась от доли сына, а Вы доказали фактическое принятие ее.