Екатерина, добрый день.
Прежде чем планировать, что делать и подавать ли отдельный иск, Вам следует получить решение суда в окончательной форме в суде, который вынес решение. В нем указано все, что решил суд по Вашему иску, по каждому из заявленных требований, а также решено ли о распределении судебных расходов-см.п.5 ст.198 ГПК РФ
Срок составления решения в окончательной форме — не позднее 5 дней со дня оглашения резолютивной части — см. п.2 ст.199 ГПК РФ. У суда имеется также обязанность направить Вам решение в течение 5 дней со дня составления его в окончательной форме -п.1 ст.214 ГПК РФ. На практике сроки не соблюдаются.
Если требования об алиментах были также удовлетворены, необходимо получить еще и исполнительный лист, по требованиям о взыскании алиментов выдаются немедленно -см. п.1 ст.428 ГПК РФ,ст.211 ГПК РФ
Если расходы, понесенные на экспертизу, решением не взысканы в Вашу пользу, то в течение 3 месяцев со дня вступления в силу данного решения суда, а это через месяц после даты составления в окончательной форме, подаете отдельное ходатайство (не иск) для взыскания оплаченных за экспертизу денег.
С уважением
Если суд сразу не распределил судебные расходы, что маловероятно, то да, придется подавать ходатайство о взыскании понесенных судебных расходов.
Обратитесь в суд за решением суда, там скорее всего все расписано, в том числе судебные расходы за экспертизу.