Сергей, добрый день.
Регистрация несовершеннолетнего ребенка возможна по заявлению его законного представителя, а для регистрации матери требуется только ее личное присутствие, представительство по доверенности в таких вопросах не допускается. Указанное следует из п.2 Адм.регламента МВД РФ по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденного приказом МВД России от 31.12.2017 № 984.
2. Заявителями являются:
2.1. Граждане Российской Федерации, достигшие 14-летнего возраста.
2.2. Один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей гражданина Российской Федерации — в отношении несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста или граждан, признанных судом недееспособными (ограниченно дееспособными).
Представители по доверенности в качестве заявителей не поименованы. Данный вопрос неоднократно рассматривался судами и толкование дано однозначное. Поэтому мать сняться с рег.учета может в порядке, предусмотренном п.55 данного адм.регламента, а зарегистрироваться по месту жительства в другом месте без личного присутствия-нет. Но может зарегистрироваться без въезда в РФ по месту пребывания (через Портал госуслуг, если у ней есть учетная запись).
Ребенка может зарегистрировать по новому м.ж. отец, если он находится в РФ.
Для этого он обращается в орган рег.учета по новому м.ж. (у матери жены -бабушки ребенка), предоставляет заявление и свидетельство о рождении ребенка. Бабушка ребенка выражает свое согласие на предоставление жилого помещения своей подписью в заявлении. Снятие с регистрации с прежнего места жительства производится автоматически (сначала снимут с рег.учета, затем зарегистрируют по новому м.ж. -см. п.118.7.1 Адм.регламента.
Отец иностранец, вр. регистрация просрочена.
Правильнее сказать -не просрочена, а ее нет на момент обращения.
Но само по себе это не является основанием для отказа в предоставлении ему госуслуги. Но возникнут ли к нему вопросы по данному поводу при регистрации ребенка — не предугадать, это субъективный момент, кто-то заинтересуется и даст ход, кто-то глаза закроет на это. Лучше решить данный вопрос до обращения за регистрацией, конечно.
С уважением
Образец заявления