Какие есть варианты заключить с работодателем трудовой договор?

Здравствуйте, Михаил!

Для заключения договора нужна воля двух сторон.

Пока по описанию не ясно, носят ли Ваши отношения с центром трудовой или гражданско-правовой характер.

Учитывая, что Вас уже допустили к работе, с точки зрения трудового законодательства можно говорить о том, что трудовые отношения уже возникли, даже в отсутствие письменного договора. 

Также и по гражданско-правовым отношениям — можно говорить, что заключен договор оказания услуг, но нарушено требование о письменной форме такого договора, если стоимость услуг превышает 10 т.р., что, впрочем, не делает такой договор безусловно недействительным или незаключенным. 

Если Ваш работодатель /заказчик согласен подписать письменный договор, то это его забота — как все оформить.

Но учитывая, что 

зарплата выплачивается неаккуратно

 очень сомнительно, что работодатель (заказчик) на это пойдет. В таком случае Вам придется обращаться в суд для установления факта трудовых отношений или взыскания оплаты по договору услуг (с позицией надо определиться до подачи иска, конечно, и соответственно подготовить доказательную базу).

Сам студент, учусь на географа (не педагога!). Педагогического образования не имею

 поэтому педагогическим работником (при наличии образовательной лицензии у центра) Вы работать можете, но с ограничениями. Например, Вы можете быть педагогом доп. образования, если закончили хотя бы 2 курса вуза и преподаете именно географию, а не, например, математику. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).