Могу ли я с данной винтовкой охотиться?

Здравствуйте! Для решения данного вопроса нужно обратиться к разъяснениям Статья 13. Право на приобретение оружия гражданами Российской Федерации Федеральный закон от 13.12.1996 N 150-ФЗ «Об оружии», которая прямо устанавливает, что пневматическое оружие с дульной энергией не более 7,5 Дж и калибра до 4,5 мм включительно, списанное оружие имеют право приобретать граждане Российской Федерации, достигшие возраста 18 лет, без получения лицензии.

Далее уже нужно руководствоваться Приказом Минприроды России от 24.07.2020 N 477  «Об утверждении Правил охоты»

5.2.2 в случае осуществления охоты с охотничьим огнестрельным, пневматическим, метательным стрелковым оружием (далее — охотничье оружие) — разрешение на хранение и ношение охотничьего оружия в соответствии со статьей 13 Федерального закона от 13 декабря 1996 г. N 150-ФЗ «Об оружии» (Собрание законодательства Российской Федерации, 1996, N 51, ст. 5681; 2019, N 30, ст. 4439) (далее — разрешение на хранение и ношение охотничьего оружия);

Таким образом видим, что в отношении оружия Правила  охоты  требуют разрешение на хранение и ношение охотничьего оружия, только в случае использования охотничьего оружия. Правилами охоты не запрещено охотится в отсутствие охотничьего оружия и приспособлениями таковыми не являющимися.

Хочу сделать охотничий билет

Да, наличие охотничьего билета — это требования закона. Порядок выдачи охотничьего билета, утвержден Приказом  Минприроды России от 20 января 2011 г. N 13, по ссылке docs.cntd.ru/document/902260179