Что делать, если ремонтник не закончил работу и испортил имущество без договора?

Если у вас есть в переписке требование возврата ключей и свидетели, которые подтвердят эти факты, можете попробовать обратиться в полицию с заявлением о привлечении к уголовной ответственности.

Работу не доделал, на звонки не отвечает.

На основании имеющейся переписки, договор может считаться заключенным на основании 

ГК РФ Статья 432. Основные положения о заключении договора

1. Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.

так как сторона начала производство работ.

Но можно ли что то сделать с прочей имущества и кражей ключей?

Я рекомендую Вам обратиться в полицию. Тут скорее всего откажут в возбуждении уголовного дела, но это может возыметь психологический эффект на подрядчика и кроме того Вам помогут установить адрес проживания лица для направления претензии и последующего обращения в суд — если он не известен.

Договор не заключали, сохранились переводы средств, переписка с обсуждением работы.

Дополнительно отмечу, что  ст. 71 ГПК РФ электронная переписка, в том числе в WhatsАpp, Telegram, Skype и иных мессенджерах, относится к числу письменных доказательств. 

Переписка будет признана надлежащей, если возможно установить всех ее участников. В связи с особенностями мессенджеров как способа коммуникации переписка в них может иметь доказательственное значение при условии, что обстоятельства дела позволяют установить телефонные номера, связанные с участвовавшими в переписке контактами, а также принадлежность этих номеров непосредственно участникам отношений, в связи с которыми возник спор, либо лицам, обладающим полномочиями совершать от их имени соответствующие юридические действия (заключать договор, принимать исполнение, признавать долг и др. При этом отображаемые в соответствующем мобильном приложении имена контактов сами по себе не являются безусловным доказательством личности участников переписки, поскольку такие имена присваиваются самим владельцем мобильного устройства.

Вы вправе подать заявление в полицию в порядке ст.141 УПК РФ по факту повреждения имущества и хищения ключей

По нему полиция проведет доследственную проверку в порядке ст.144 УПК РФ, подробнее по ссылке

УПК РФ Статья 144. Порядок рассмотрения сообщения о преступлении \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Скорее всего участковый опросит вас, строителей, кто скидывал предметы в унитаз, проведет его оценку и откажет в возбуждении уголовного дела по ст.167 УК РФ

Так как для возбуждения дела по данной статье нужен прямой умысел на уничтожение\повреждение унитаза. И явно строители не признаются в этом.

Кроме того, согласно ст.167 УК РФ преступлением будет признано повреждение имущества, если оно причинило вам значительный ущерб.  При этом сумма данного ущерба должна превышать 5000 рублей и быть для вас значительной, что вряд ли будет оценено таковым с точки зрения уголовного права.

Скорее всего, участковый усмотрит административное правонарушение - 

КоАП РФ Статья 7.17. Уничтожение или повреждение чужого имущества \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

А если скажут, что сломали неосторожно, то состава преступления, предусмотренного ст.168 УК РФ также не усмотрят, там сумма ущерба должна быть свыше 250.000 рублей.

По поводу ключа. Сумму ущерба будет устанавливать участковый, который опять же установив, что она менее 2500 рублей, вынесет решение об отказе в возбуждении уголовного дела по ст.158 УК РФ.

И усмотрит административное правонарушение, предусмотренное ст.7.27 КоАП РФ

КоАП РФ Статья 7.27. Мелкое хищение \ КонсультантПлюс (consultant.ru)

Но подать заявление вы вправе. Да и оно поможет вам - 

1. узнать данные лиц, повредивших ваш унитаз и предъявить им гражданский иск, как советуют коллеги

2. доказать факт проведения ремонта и договорных отношений

3. скорее всего, активизировать ремонтные работы и вернуть ключи(но это не точно).