Пётр!
Вы можете только подать рапорт о переводе, имея в виду нормы статьи 15 Положения о порядке прохождения военной службы, утверждённого Указом Президента РФ №1237 от 16.09.99, но решение будет зависеть от командования части.
В указанной статье действительно предусмотрена возможность перевода военнослужащего по личной просьбе по семейным обстоятельствам, но, к сожалению, указанные Вами обстоятельства не могут рассматриваться как безусловно дающие право на перевод.
По закону таким обстоятельством может быть необходимость (например) ухода за близким родственником, который по заключению медико-социальной экспертизы признан нуждающимся в постоянном постороннем уходе, а ваши родственники (насколько я понимаю) такими не являются и получить заключение МСЭ в отношении них не представляется возможным.
Поэтому у командования части будет возможность отказать Вам в удовлетворении просьбы о переводе по семейным обстоятельствам, даже если в той части будут вакансии для продолжения Вами воинской службы по новому месту службы, если командование буде не заинтересовано в Вашем переводе.
Это все остается на решение командования. ОБязать командование Вас перевести в данном случае нельзя