Или прибытие в часть есть безусловное и единственноверное решение?

Военкомат может направить Вас на лечение, согласно требованиям устава внутренней службы ВС РФ, утвержденного Указом Президента РФ от 10.11.2007 N 1495

Военнослужащие, заболевшие в период отпуска или командировки, направляются на лечение в стационарных условиях начальниками гарнизонов или военными комиссарами.

При отсутствии по месту жительства соответствующих военно-медицинских учреждений, лечение могло быть организовано и проведено, как того требует ст. 16 ФЗ «О статусе военнослужащих» в медицинских организациях государственной системы здравоохранения и муниципальной системы здравоохранения.

Во-вторых, Вы обязаны были сообщить о заболевании в военкомат и поставить отметку в отпускном билете.

На это также прямо указано в уставе гарнизонной и караульной службы ВС РФ

3. Все военнослужащие во время нахождения в отпуске или в командировке обязаны иметь отпускной билет или командировочное удостоверение при себе и предъявлять его по требованию начальников и старших. В случае перемены адреса, получения разрешения на продление отпуска или срока командировки, болезни или по другим причинам, задерживающим своевременный выезд, военнослужащие должны немедленно сообщать об этом дежурному по военной комендатуре или в военный комиссариат или органы государственной власти и органы местного самоуправления (где встали на учет).

После этого Вы можете известить командование о том, что обратились за медицинской помощью самостоятельно.

Одним из документов, подтверждающих наличие причин, по которым Вы своевременно не прибыли из отпуска, является отметка в отпускном билете о болезни.

При совершении указанных действий с Вашей стороны, в силу Указа Президента РФ от 25.03.2015 N 161
«Об утверждении Устава военной полиции Вооруженных Сил Российской Федерации и внесении изменений в некоторые акты Президента Российской Федерации»

46.1. Военный комендант гарнизона (военный комиссар) немедленно сообщает о причине задержки военнослужащего командиру воинской части, из которой он прибыл, если военнослужащий, находящийся в отпуске или командировке, не может прибыть к месту своей службы вследствие заболевания или иных независящих от него обстоятельств.
В случае заболевания военнослужащего,находящегося в отпуске или командировке, военный комендант гарнизона (военный комиссар) направляет его на осмотр (медицинское освидетельствование) к врачу, в том числе для решения вопроса о необходимости оказания медицинской помощи в стационарных условиях.

Таким образом, начать Вам нужно именно с обращение в военный комиссариат (где Вы встали на учет по прибытии в отпуск) для постановки отметки в отпускном билете и организации оказания Вам медицинской помощи. Даже получив отказ в ее оказании Вам в любом случае обязаны поставить отметку о заболевании и уведомить об этом воинскую часть.

Следующий момент — это возможность продления отпуска в связи с заболеванием и прохождением лечения в гражданской клинике

Возможность продления отпуска по смыслу ст. 29 Положения о порядке прохождения военной службы определена в следующих случаях:

18. Военнослужащим, заболевшим во время основного или дополнительного отпуска, кроме отпуска по личным обстоятельствам, основной или дополнительный отпуск продлевается на соответствующее количество дней болезни.Продление отпуска в этом случае осуществляется командиром воинской части на основании справки из лечебного учреждения.