Вправе ли банк предъявить мне долг после принятия наследства?

Здравствуйте, Виталий. В соответствии со ст.1175 ГК РФ 

Наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно (статья 323).

Вы можете отказаться от наследства в соответствии со ст.1153 ГК РФ или не обращаться вообще к нотариусу.

И при том, что когда Вы примите наследство, то отвечать по обязательствам наследодателя, в т.ч. по погашению кредита, Вы должны в пределах суммы, размера наследства.

При предъявлении требований кредиторами наследодателя срок исковой давности, установленный для соответствующих требований, не подлежит перерыву, приостановлению и восстановлению.