Может ли банк снять деньги с карточки, ему не принедлежащей в счет задолжности?

Только на основании исполнительного листа выданного судом.

Уважаемая Анна, может, если второй банк подаст в суд на Вам, выиграет дело, решение вступит в законную силу, второй банк подаст исполнительный лист в первый банк. Согласно ФЗ «Об исполнительном производстве», банки относятся к организациям, которые при подаче им исполнительного листа обязаны удерживать денежные средства из доходов их клиента, если они имеются.