Здравствуйте. «Прописка» по старому, а по- новому регистрация по месту жительства или месту пребывания.
На сегодняшний день регистрация в миграционной службе МВД, как говоря, не ограничение свободы передвижения, а фиксация нахождения гражданина в определенном месте. Регистрация сама по себе не дает никаких прав в собственности, разве что позволяет проживать по указанному адресу, находиться там постоянно или временно. Хоть это касается частной собственности (ст.209 ГК РФ), или жилого помещения по договору социального найма (ст.60 ЖК РФ).
Квартира достаётся несовершеннолетнему ребенку по завещанию (ст.1111, 1119, 1120 ГК РФ). Он собственник, его законные представители до совершеннолетия — его родители (ст.64 СК РФ).
Достигнув совершеннолетия, собственник по своему усмотрению вправе распоряжаться своим имуществом, в т.ч. и квартирой и в т.ч. снять с регистрации (прописки) своего родителя из своей квартиры, и вообще любого человека.
Право проживания регистрация сама по себе тоже не даёт.
Регистрация вторична, она уже просто фиксирует место где человек живёт.