Здравствуйте, Екатерина!
Ваш первый вопрос содержит 2 самостоятельных вопроса.
1. В соответствии с ч. 1 ст. 10 Федерального закона от 29.12.2006 №256-ФЗ, направление материнского капитала на улучшение жилищных условий детей предполагает покупку жилого помещение, но не его части. С другой стороны, ст. 16 ЖК РФ под жилым помещением понимает как целый жилой дом, так и его часть.
Поэтому многое здесь будет зависеть от оценки степени улучшения жилищных условий сотрудниками СФР. Но шанс определенно есть.
2. Дадут ли ипотеку на половину дома — вопрос непредсказуемый. Вообще п. 3 ч. 1 ст. Федерального закона от 16.07.1998 №102-ФЗ, допускает закладывание половины дома. Но итоговое решение зависит от банка, а банки неохотно принимают доли в залог. Обязать банк заключить кредитный договор невозможно. Так что тут есть риск отказа.
У мамы есть неоплаченные кредитные задолженности обшей суммой около 500 000, может ли она продать в этом случае часть своего единственного имущества?
Тут нужно разграничить сам факт наличия неоплаченных задолженностей и факт наличия исполнительных производств, возбужденных для их принудительного взыскания. Если долги еще не просужены, мама успеет продать дом. Но если исполнительные производства уже ведутся, руководствуясь ст. 68 Федеральный закон от 02.10.2007 №229-ФЗ, судебный пристав-исполнитель может наложить запрет регистрационных действий.
Исполнительский иммунитет для единственного жилья, предусмотренный ч. 1 ст. 446 ГПК РФ, означает, что на это жилье не могут обратить взыскание (изъять и продать с торгов), но запрет регистрационных действий накладывать не запрещено.
Если нет запретов о регистрации, арестов ее дома, то продать дом (доли в нем) она формально вправе.
В общем сделка довольно рискованная, пусть уж лучше мама пройдет процедуру банкротства, поскольку в этом случае на единственное жилье взыскание не обращается.