Александр, добрый день!
Для того, чтобы точно ответить на ваш вопрос необходимо понимать что именно вы подразумеваете под «квартиру дали на семью» и «собственник которой отец».
Если ваш отец действительно является собственником (именно собственником), то квартира принадлежит именно ему и больше никому. Для права собственности абсолютно не важно наличие регистрации (прописки) в квартире. Либо ты являешься собственником либо нет.
Если «квартиру дали на семью» по договору социального найма, а ваш отец является так называемым «ответственным квартиросъемщик» и, соответственно, квартира до сих пор не приватизирована, то в таком случае право проживать и владеть данной жилой площадью имеют право все зарегистрированные в ней лица. Такая квартира не находится в личной собственности, а ваш отец не является ее собственником.
Так как в данной квартире, с ваших слов, зарегистрированы только вы и ваш отец, то в таком случае только вы и ваш отец могут в ней проживать и нести бремя ее содержания в соответствии с Главой 8 Жилищного кодекса РФ.