Сейчас подходит срок окончания отработки, можно ли написать заявление на увольнение задним числом?

Добрый день! Ситуация обстоит так, что мой работадатель вынуждает написать заявление по собственному желанию, могу ли я написать заявление на увольнение по соглашению сторон и потребовать выходное пособие, если об этом не сказано в трудовом договоре?

Здравствуйте, я закончила обучение в ординатуре по целевому договору. В договоре указанно, что я должна трудоустроиться в течение 1 месяца, после аккредитации, аккредитация была 9 июля, я обратилась в отдел кадров 23 июля( имеется переписка в мессенджере с начальником отдела кадров). Пока получила все справки и прошла обследования, прошёл месяц, ещё и заболела, недолго лежала в стационаре. Пришла 23 августа, написала заявление, сказали выходить 2 сентября. 31 августа расписалась с мужем в ЗАГСе, со сменой фамилии ( в ЗАГСе уточнила, могу ли я пока не менять документы, сказали да, 90 дней, могу не менять). Вышла на работу 2 сентября, 5 сентября предъявила свидетельство о браке, сказали тогда мы тебя не можем устроить, иди меняй паспорт, в этот же день подала заявление на смену паспорта (в паспортном столе сказали, что меня могут и со старым паспортом принять на работу, но работодатель наставал на смене документов) , получила паспорт 13 сентября, 16 пришла с новыми документами, написала новое заявление. Зам. по экономическим вопросам, сказала, что я нарушила договор,тем что не трудоустроилась, в течение 1 месяца с момента прохождения аккредитациии и если придет проверка винить будут во всём меня и я буду платить штраф. Но я не понимаю, почему я должна платить штраф, может виновата организация, что меня вовремя не трудоустроили, обратилась я вовремя и не собиралась уклоняться от отработки. Действительно ли мне при таких обстоятельствах грозит выплата штрафа и если начнутся какие-то разбирательства могу я подать встречный иск, что виновата организация, которая меня не трудоустраивала? По мимо переписок с начальником отдела кадров имеется скриншот о том что справка об отсутствии судимости делалась около 3х недель и я бы в любом случае не успла в срок. Договор прикрепила, спасибо