И на каком основании суд принял такое решение?

Здравствуйте, Дмитрий!

Размер алиментов на детей указан в п.1 ст.81 Семейного кодекса РФ. В частности алименты на несовершеннолетних детей взыскиваются судом с их родителей ежемесячно в размере: на одного ребенка — одной четверти, на двух детей — одной трети, на трех и более детей — половины заработка и (или) иного дохода родителей.

    В случае, если на первого ребенка взысканы алименты в размере ¼ заработка или иного дохода или в твердой денежной сумме кратной прожиточному минимуму по региону, то при рождении второго ребенка в другом браке размер алиментов на первого ребенка может быть уменьшен судом по заявлению лица, выплачивающего алименты.
Заявление рассматривается по правилам искового производства, то есть истец должен доказать те обстоятельства, на которые он ссылается как на основание своих требований (ч.1 ст.56 ГПК РФ). Исковое заявление об уменьшении алиментов предъявляется мировому судье судебного  участка по месту жительства ответчика.  Ответчиком является получатель алиментов на несовершеннолетнего ребенка размер алиментов на которого по мнению истца превышает установленный в п.1 ст.81 СК РФ или ст.83 СК РФ. В качестве третьего лица привлекается получатель алиментов на ребенка в другом браке.
Основанием для уменьшения алиментов на  ребенка является изменение материального или семейного положения одной из сторон (ст.119 СК РФ).
Как разъяснено в «Обзоре судебной практики по делам, связанным со взысканием алиментов на несовершеннолетних детей, а также на нетрудоспособных совершеннолетних детей» (утв. Президиумом Верховного Суда РФ 13.05.2015) при рассмотрении вопроса об уменьшении алиментов необходимо исследовать вопросы о том, действительно ли материальное и (или) семейное положение должника изменилось настолько, что он не имеет возможности предоставлять несовершеннолетним детям содержание в прежнем размере, а также как скажется такое изменение на материальном положении детей.
То есть, положения п. 1 ст.81, 83 СК РФ устанавливающие размер алиментов на детей не являются основанием для уменьшения алиментов.
Также следует отметить, что из вышеупомянутого Обзора следует, что наличие на иждивении плательщика алиментов других детей, в отношении которых вопрос о взыскании алиментов в судебном порядке не разрешался, не являлось для судов безусловным основанием для изменения размера алиментов, что следует признать правильным.
По смыслу данного разъяснения для уменьшения алиментов на ребенка необходимо чтобы и на другого ребенка также уплачивались алименты.
К исковому заявлению следует приложить документы, подтверждающие уплату алиментов на детей, подтверждающие материальное положение, копии свидетельств о рождении детей, заключении брака, постановлений о возбуждении исполнительного производства.
При подаче иска необходимо уплатить госпошлину исходя из цены иска по правилам ст.91 ГПК РФ.