Могу я эти чеки, сейчас в 2023 году оформить в авансовый отчёт и выдать денежные средства или существует все же срок давности и так давно оформленные чеки принимать к учету я не имею права?

Возмещение расходов работнику — это не выдача денег под отчет. Срок, в течение которого работник может обратиться за возмещением, ничем не ограничен.
Для того, чтобы возместить расходы работнику, он должен написать заявление на имя директора. А директор должен утвердить данный расход.
В этом случае авансовый отчет можно не оформлять, так как этот документ обязаны составлять лишь те сотрудники, которым были выданы деньги организации (п. 6.3 Указания Банка России от 11 марта 2014 г. № 3210-У).
Я бы просто издала приказ на компенсацию расходов.