Добрый вечер! Для начала Вам следует заключить трудовой договор и попросить работодателя разъяснить вам его условия. Является ли обучение работника обязанностью Работодателя либо работник обучается за свой счет? В любом случае платить 350 руб без заключения договора не следует. Если вы все же будете платить необходимо взять документ-основание — товарный чек на покупку литературы, договор на обучение и т.д.
Получить информацию об организации вы безусловно вправе. Можете попросить предоставить вам оригиналы свидетельства ОГРН и ИНН, свежую выписку из ЕГРЮЛ. Узнать существует ли такая организация вообще и ее юридический адрес можно на сайте nalog.ru. Там необходимо ввести наименование организации либо ее ОГРН. Также вы можете запросить подробную выписку из ЕГРЮЛ в налоговой. Стоимость такой выписки 200 руб.